Von der Globalstrahlung zur Ertragsvorhersage

Gegeben seien die folgenden Größen

• Sg = Intensität der Globalstrahlung (diffuse und direkte Strahlung) auf einer horizontalen Fläche
• α = Azimutwinkel des Sonnenstandes, 180° = Südrichtung
• β = Höhenwinkel des Sonnenstandes, 0° = waagerecht, 90° = senkrecht
• φ = Azimutwinkel der PV-Anlage, 0° = Nordrichtung, 180° = Südrichtung, gemessen im Uhrzeigersinn
• γ = Neigungswinkel der PV-Anlage, 0° = horizontal, 90° = senkrecht
• n = Tag des Jahres, 1..365

Die Aufgabe besteht nun darin, aus diesen Daten die Globalstrahlung und damit den Ertrag auf der geneigten PV-Anlage zu berechnen.

Als Zwischengrößen benötigen wir

• Si = Intensität der direkten Strahlung auf einer horizontalen Fläche
• Sf = Intensität der diffusen Strahlung auf einer horizontalen Fläche

womit also gilt

Sg = Sf + Si

Klarheitsindex und diffuser Anteil

Im nächsten Schritt schätzen wir aus der Globalstrahlung einen Klarheitsindex Kt ab, indem wir zunächst mit der Solarkonstante

I0 = 1367 W/m²

die außeratmosphärische normale Einstrahlung I0n modellieren. Diese beträgt am n-ten Tag des Jahres ungefähr

I0n = I0 * ( 1 + 0.033 * cos( 360° * n/365))

Horizontal ergibt sich damit

I0h = I0n*sin(β)

für β > 0. Der Klarheitsindex ergibt sich als

Kt = Sg/I0h

Um Instabilitäten bei kleinen Sonnenwinkeln zu vermeiden, sollte dieser Wert auf das Intervall [0,0.85] geclippt werden.

Der diffuse Anteil nach Erbs ist dann

Sf = kd * Sg

wobei der Wert kd sich wie folgt aus Kt ergibt:

• Für Kt <= 0.22 => kd = 1-0.09*Kt
• Für 0.22 < Kt <= 0.80 => kd = 0.9511−0.1604*Kt​+4.388*Kt²​−16.638*Kt³​+12.336*Kt⁴
• Für 0.80 <= Kt => kd = 0.165

Der direkte Strahlungsanteil auf der horizontalen Fläche ist also

Si = (1 - kd) * Sg 

Direkte Einstahlung auf die PV-Fläche

Die direkte Normalstrahlung auf horizontaler Fläche ist

DNI = Si * 1/sin(β)

Der Kosinus des Einfallswinkels auf die Modulfläche ergibt sich als

cos(θ)=sin(β) * cos(γ)+cos(β)* sin(γ) * cos(α − φ)

Dieser Wert wird negativ, wenn sich die Sonne hinter der PV-Fläche befindet.

• Wenn es ältere Module mit undurchsichtiger Rückseite sind, entfällt in diesem Fall die direkte Einstrahlung. Als Faktor für die weitere Rechnung ist also zu verwenden

F = max(0,cos(θ))​

• Wenn es sich um eine Anlage mit modernen Glas-Glas-Modulen handelt, ist die direkte Einstrahlung auch dann noch vorhanden. Als Faktor für die weitere Rechnung ist bei gleicher Empfindlichkeit aus beiden Richtungen also zu verwenden

F = abs(cos(θ))​

• Im Zweifelsfall ist hier ein Korrekturfaktor anzubringen, wenn cos(θ) < 0

Die direkte Strahlung auf die PV-Anlage ergibt sich damit als

B = Si * F/sin(β)

für β > 0. Zur besseren Absicherung gegen nummerische Instabilität sollte das aber tatsächlich nur verwendet werden wenn β > 3°, ansonsten hart auf Null gesetzt werden.

Diffuse Einstrahlung auf die PV-Fläche

Das so genannte isotrope Himmelsmodell ergibt für die diffuse Einstrahlung auf die PV-Fläche

D = Sf * 0.5*(1+cos(γ))​

Besser geeignet ist ein Modell nach Hay-Davies, in welchem die diffuse Einstrahlung in einen Anteil in Sonnennähe und einen isotropen Anteil zerlegt wird. Dafür benötigen wir den Zenitwinkel des Sonnenstandes, dieser ist gleich 90°-β, um einen geometrischen Faktor r zu berechnen

r = F/cos(90°-β) = F/sin(β)

Darin ist F der im vorigen Abschnitt berechnete Faktor, also in der Regel der Kosinus des Einfallswinkels der direkten Strahlung auf die PV-Anlage.

Desweiteren bestimmen wir einen Anisotropiefaktor A

A =  DNI/I0n = Si/I0n * 1/sin(β) = Si/I0h = Si/Sg * Kt = (1 - kd)* Kt

Damit ergibt sich dann als diffuse Einstrahlung auf die PV-Fläche nach Hay-Davies

D = Sf * (A*r ​+ (1−A​) * 0.5*(1+cos(γ)))

Bodenreflexion

Bei geeigneter Anlage kann man noch die Bodenreflexion hinzufügen, mit einer Albedo

• ρ = 0.2 für "normalen" Boden
• ρ = 0.6 .. 0.8 bei Schnee

ergibt sich die Einstrahlung aus Bodenreflexion als

R = ρ * Sg * 0.5*(1-cos(γ))​